Дифференциальная и интегральная функции распределения случайных величин.

П.1.2. Дифференциальная и интегральная функции распределения случайных величин.

Дифференциальной функцией распределения W(X) случайной величины Xназывается предел изменения вероятности появления случайной величины на интервале X+ АХпри бесконеч­но малом изменении этого интервала АХ:
, ч Р(Х + АХ) dP
W(X)шlim—*----------- }-------- ,                                                                                                  (П.1.1)
v' д*-о АХ dX
где Р(Х+ АХ)— вероятность появления значения случайной величины в интервале X+ АХ, АХ— бесконечно малое изменение величины X.
Величина W(X) также называется плотностью распределения или плотностью веро­ятности.Если величина Xпринимает дискретные значения (а на практике это почти всегда выполняется, так как прибор измеряет случайную величину Xтолько в определенные мо­менты времени с определенным шагом АХ), то плотность вероятности является дискретной функцией (рис. П. 1.2).

 

 
При непрерывной величине Xфункция W(X)определяется по формуле (П. 1.1) и также является непрерывной (рис. П. 1.3). При определении W(X)по результатам эксперимента эта функция почти всегда получается дискретной, так как значения случайной величины X
9-632

Такая дискретная функция W(X),построенная на основании данных измерений, называ­ется гистограммой (рис. П. 1.2). При корректно поставленном эксперименте и тщательной обработке результатов измерений дискретность значений W(X)значительно меньше ее из­менений, поэтому при малых АХ(шаге величины X)с хорошим приближением можно счи­тать W(X)непрерывной функцией. При непрерывной W(X)вероятность Р(Хх < Х< Х2)попа­дания величиныXв интервалХ\<Х<Х2можно определить в виде интеграла:

*2
Р(Хг<Х <Х2)= jw(X)dX.                                                                                            (П.1.2)
Графически это показано на рис. П. 1.3 выделенной областью.
Если физически возможные значения дискретной величины Xзаключены в интервале отХт]п доХтах,то вероятность:
Хтах
P{XmiB<X<Xmm)= jw(X)dX=1,                                                                                     (П.1.3)
*min
то есть площадь, ограниченная кривой W(X)и осьюХ, равна единице.
Интегральной функцией распределения Р(Х)называется вероятность того, что случай­ная величина не превосходит значение X.Функция Р(Х)определяется в виде:
X
Р(Х)= JW(X)dX.                                                                                                                  (П.1.4)
*min
Отсюда следует, что Р(Хтах) = 1,                                                                                     (П. 1.5)
P(Xmin) = 0.                                                                                                                        (П1.6)
Вероятность того, что случайная величина превышает значение Хъравна:
Р(Х >Х1) = 1-J W(X)dX.           (П.1.7)

 
   
Стол заказов: (067)194-45-55 | Киев