Числовые характеристики случайных величин.

П.1.3. Числовые характеристики случайных величин.

Функция распределения случайной величины W(X)дает ее полное статистическое описа­ние. Однако для решения многих практических задач бывает достаточным знание лишь от­дельных численных характеристик функций распределения.
Наиболее употребительными являются приведенные ниже числовые характеристики. Среднее значение (математическое ожидание) (X)случайной величины X— называет­ся сумма произведений всех ее вариантных значений на вероятности появления ее значе­ний. Если плотность распределения W(X)есть непрерывная функция, то вероятность появ­ления значения Xв интервале dXравна W(X)dXи, значит:
(х)=| X W(X)dX.
Если Xпринимает дискретные значения, то:

(П.1.9)
где N— число возможных значений случайной величины X, W(X_t)— плотность распределе­ния вероятности появления случайной величины со значением X_t.
Наивероятное значение (mode— мода).
Наивероятным значением (модой) Х_н
 
называют значение X, при котором плотность распределения W(X)максимальна. Функция W(X) может иметь один или несколько максимумов (полимодальные распределения) или не иметь максимума (равномерные распределения).
Встречаются распределения W(X),имеющие минимум (автомодальные распределения). В общем случае наивероятное значение Х_нне совпадает со средним значением: Х_н * (X). Медиана. Медианой Х_мназывают такое значение X,при котором вероятность
/>(*,) *0,5,
Х_мможет не совпадать с (X)и Х_ютак как Р(Х_м)= 0,5 = JW(X) dX.
х_г
Дисперсия. Дисперсия Л = а² характеризует разброс случайной величины Xотноси­тельно среднего значения. Для непрерывной случайной величины дисперсия определяется в виде:
 
(П.1.11)
лг_т|П
где о— среднеквадратичное значение случайной величины, а для дискретной:
(П. 1.12)
где dX— бесконечно малый шаг X.
Таким образом дисперсия имеет значение квадрата случайной величины.
(Например для случайной величины E(t)дисперсия находится:
N                               ²
А = а² =£(£,-(£))-W{E,)dE,                                                                                                  (П.1.13)
1-1
при этом А ~ Е²определяет плотность потока мощности П ~ Е²по размерности).
Рассмотрим следующий пример.
Определим дисперсию случайной величины, изменяющейся в пределах от X_min=-оо ДО Х_тах= +°°> непрерывного случайного процесса:
Д = J(A'-(Z))²-^(Z)«!Y= ^X²-W(X)dX + ^(х)²-W(X)dX -
-2]x(x)-w{x)dx=1_К(Х²)-((Х))²),
то есть получаем разность между средней величиной квадрата случайной величины и квад­ратом среднеквадратичного значения.
Среднеквадратичное значение о(или иногда говорят: стандартное (среднеквадратич­ное) отклонение) определяется как квадратный корень из значения дисперсии:
о= л/д ,                                                                                                                                          (П.1.14)
то есть величина а имеет размерность случайной величины Xи более удобно характеризует разброс значений случайной величины, чем дисперсия. Для дискретной случайной величи­ны напряженности поля величина онаходится из формулы (П. 1.13):
^a = jz(^£.-(^£))²'^w(^)^»                                                                                     (П. 1.15)
где dE— бесконечно малое изменение Е.